Derivada x^n

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Derivada de xⁿ

(Matemática | Cálculo | Derivadas | Tabla de | xⁿ)

xⁿ = n x^(n-1)

Tres demostraciones

Demostración de (d/dx) xⁿ : desde e^{(n ln x)}

Dando: e^x = e^x; ln(x) = 1/x; La Regla de la cadena.
Resuelva:

xⁿ = e^{(n ln x)}

= e^u (n ln x) (Fije u = n ln x)

= [e^{(n ln x)}] [n/x] = x^{^n} n/x = n x^(n-1) Q.E.D.

Demostración de (d/dx) xⁿ : desde la Integral

Given: xⁿ dx = x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1) + c; El teorema fundamental de cálculo.
Resuelva:

x^(n-1) dx = xⁿ / n

xⁿ / n = x^(n-1) dx = x^(n-1)

1/n xⁿ = x^(n-1)

xⁿ = n x^(n-1) Q.E.D.

Demostración de (d/dx) xⁿ : algebraico

Dando: (a+b)ⁿ = (n, 0) aⁿ b⁰ + (n, 1) a^(n-1) b¹ + (n, 2) a^(n-2) b² + .. + (n, n) a⁰ bⁿ
Aquí (n,k) es el coeficiente binómio = n! / ( k! (n-k)! )

Resuelva:

xⁿ = lim_(d->0) ((x+d)ⁿ - xⁿ)/d

= lim [ xⁿ + (n, 1) x^(n-1) d + (n, 2) x^(n-2) d² + .. + x⁰ dⁿ - xⁿ ] / d

= lim [ (n,1) x^(n-1) d + (n, 2) x^(n-2) d² + .. + x⁰ dⁿ ] / d

= lim (n,1) x^(n-1) + (n, 2) x^(n-2) d + (n, 3) x^(n-3) d² + .. + x⁰ dⁿ

= lim (n, 1) x^(n-1) (todos los téminos derechos se cancelan a causa de el factor d)

= lim (n, 1) x^(n-1) = n! / ( 1! (n-1)! ) x^(n-1) = n x^(n-1) Q.E.D.